有理数概念（绝对值）
绝对值
绝对值的定义为：数轴上表示数 \(a\) 的点到原点的距离叫做 \(a\) 的绝对值，记作 \(|a|\)。
绝对值描述的是一个距离，因此绝对值一定是一个非负数（正数或 \(0\)）。
当 \(a\) 为正数时，\(|a| = a\)
当 \(a\) 为负数时，\(|a| = -a\)（\(-a\) 为其相反数，这里的 \(-a\) 是一个正数）
当 \(a\) 为 \(0\) 时，\(|a| = 0\)
非负数的绝对值是它本身。也就是说若 \(|a| = a\)，则 \(a\) 为正数或 \(0\)，若 \(|a| = -a\)，则 \(a\) 为负数或 \(0\)。
PS: 注意这里的 \(-a\) 要读为 \(a\) 的相反数。\(0\) 的相反数就是 \(0\)
比较大小
根据数轴的定义，右边的数总比左边的大，因此正数大于 \(0\) 大于负数。
负数的大小比较可以比较其绝对值，绝对值较大的负数在数轴上表示反而更小。
比如 \(-3\) 和 \(-2\) 对比，\(|3| > |2|\) 则 \(-3\) 较 \(-2\) 来说更小。
本章节例题
按从大到小的顺序，用 \(<\) 把下列各数连接起来。
\(-4 \frac{1}{2}\)，\(-(-\frac{2}{3})\)，\(|-0.6|\)，\(-0.6\)，\(-|4.2|\)
因为 \({-(-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}}\)（符号化简，两个负号直接去掉），\(|-0.6| = 0.6\) （负零点六的绝对值，负数的绝对值为正数），\(-|4.2| = 4.2\) （正数的绝对值就是其本身），而 \(-4 \frac{1}{2} = -4.5\)，\(-|4.2| = -4.2\)
故得出 \(-4 \frac{1}{2} < -|4.2| < -0.6 < |-0.6| < -(-\frac{2}{3})\)
若 \(|a - 1| + |b - 2| = 0\)，求 \(a + b\) 的值。
绝对值是表示一个距离，所以绝对值必须大于 \(0\)，故 \(|a - 1| \geq 0\)，\(|b - 2| \geq 0\)
又因为 \(|a - 1| + |b - 2| = 0\)
所以 \(|a - 1| = 0\)，\(|b - 2| = 0\)
所以 \(a - 1 = 0\), \(b - 2 = 0\)
得出 \(a = 1\), \(b = 2\)
答案是 \(3\)，\(a + b = 1 + 2 = 3\)
若 \(|m| = |n|\)，则 |m| 与 |n| 的关系为 \(\underline{m = n \, 或 \, m = -n \, 记作 \, m=\pm\\n}\)
因为绝对值代表的是距离、所以 |m| 和 |n| 要么位于数轴两侧距离相等、要么在同一侧距离相等
若 \(|-a| = |-4|\)，则 \(a = \underline{\pm4}\)
若 \(-a > 0\)，则 \(|-a| = -a\)，此时 \(a = -4\)
若 \(-a < 0\)，则 \(|-a| = -(-a) = a|\)，此时 \(a = 4\)
若 \(x \neq 0\) 时，\(\frac{|x|}{x} = \underline{\pm1}\)
若 \(x > 0\)，则 \(|x| = x\)，\(\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1\)
若 \(x < 0\)，则 \(|x| = -x\)，\(\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1\)
若 \(a\)，\(b\)，\(c\) 为不等于 \(0\) 的有理数，求 \(\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} + \frac{|c|}{c}\) 的值
要计算 \((\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} + \frac{|c|}{c})\)，我们需要分析每个分数项的值。根据绝对值的性质，我们有：
如果 \((a > 0)\)，则 \((|a| = a)\)，所以 \((\frac{|a|}{a} = \frac{a}{a} = 1)\)。
如果 \((a < 0)\)，则 \((|a| = -a)\)，所以 \((\frac{|a|}{a} = \frac{-a}{a} = -1)\)。
同理，对于 \((b)\) 和 \((c)\)：
如果 \((b > 0)\)，则 \((\frac{|b|}{b} = 1)\)，如果 \((b < 0)\)，则 \((\frac{|b|}{b} = -1)\)。
如果 \((c > 0)\)，则 \((\frac{|c|}{c} = 1)\)，如果 \((c < 0)\)，则 \((\frac{|c|}{c} = -1)\)。
计算 \((\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} + \frac{|c|}{c})\)
假设 \((a)\), \((b)\), \((c)\) 分别为正数或者负数，不考虑 \((a)\), \((b)\), \((c)\) 为 0 的情况，因为题目已经说明它们不等于 0。根据正负组合，可以有以下几种情况：
三者都是正数：
\((\frac{|a|}{a} = 1)\), \((\frac{|b|}{b} = 1)\), \((\frac{|c|}{c} = 1)\)
总和 = \((1 + 1 + 1 = 3)\)
两个正数，一个负数：
假设 \((a)\) 和 \((b)\) 为正数，\((c)\) 为负数：
\((\frac{|a|}{a} = 1)\), \((\frac{|b|}{b} = 1)\), \((\frac{|c|}{c} = -1)\)
总和 = \((1 + 1 - 1 = 1)\)
同理，其他组合（\((b, c)\) 为正，\((a)\) 为负；\((a, c)\) 为正，\((b)\) 为负）也是相同的结果。
一个正数，两个负数：
假设 \((a)\) 为正数，\((b)\) 和 \((c)\) 为负数：
\((\frac{|a|}{a} = 1)\), \((\frac{|b|}{b} = -1)\), \((\frac{|c|}{c} = -1)\)
总和 = \((1 - 1 - 1 = -1)\)
同理，其他组合（\((b)\) 为正，\((a, c)\) 为负；\((c)\) 为正，\((a, b)\) 为负）也是相同的结果。
三者都是负数：
\((\frac{|a|}{a} = -1)\), \((\frac{|b|}{b} = -1)\), \((\frac{|c|}{c} = -1)\)
总和 = \((-1 - 1 - 1 = -3)\)
综上所述，\((\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} + \frac{|c|}{c})\) 的可能值为 \((-3)\), \((-1)\), \((1)\), 或 \((3)\)，具体取决于 \((a)\), \((b)\), 和 \((c)\) 的正负性。